Question

如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：

 

；
（2）如果∠AOD=50°，求∠DOP的度数．
（3）OP平分∠EOF吗？为什么？

Answer 1

考点：垂线,余角和补角,对顶角、邻补角

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质和对顶角来填空；
（2）根据对顶角相等、角平分线的性质求得∠BOP=

1

2

∠AOD=25°；然后由垂直的定义推知∠DOF=90°，则∠DOP=∠AOB-∠AOD+∠BOP；
（3）根据垂直的定义、角平分线的定义求得∠EOP=∠FOP．

解答：解：（1）①∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠COP=∠BOP．
②∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD=∠COB．
故答案是：∠COP=∠BOP、∠AOD=∠COB；

（2）如图，∵∠AOD=∠BOC=50°，OP是∠BOC的平分线，
∴∠BOP=

1

2

∠AOD=25°．
又∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠DOP=∠AOB-∠AOD+∠BOP=180°-50°+25°=155°，即∠DOP=155°；

（3）平分，理由如下：
∵如图，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠EOB=90°，∠COF=90°，
∴∠EOB=∠COF．
又∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠POC=∠POB，
∴∠EOB-∠BOP=∠COF-∠POC，即∠EOP=∠FOP，
∴OP平分∠EOF．

点评：本题考查了垂直的定义，对顶角、邻补角以及角平分线的定义．解题时一定要数形结合．