Question

3．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴，给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1；⑤3a+2b＜-1．其中正确结论的序号是②③④．

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0；
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
又∵a＞0，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，故abc＞0，∴①错误；
∵由图象可知：对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＜1，a＞0，
∴-b＜2a，∴2a+b＞0，∴②正确；
∵由题意可知：当x=-1时，y=2，∴a-b+c=2，
当x=1时，y=0，∴a+b+c=0．
a-b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，即a+c=1，③正确；
④∵a+c=1，c＜0，
∴a＞1，④正确；
∵当x=-1时，y=2，∴a-b+c=2，
当x=1时，y=0，∴a+b+c=0．
a-b+c=2与a+b+c=0相减得2b=-2，即b=-1，
∵a＞1，
∴a+b＞0，
∵2a+b＞0，
∴3a+2b＞0，⑤错误
故答案为：②③④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系的知识：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．