Question

如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，弦CD⊥AB于E，CF∥AD，CD=4

3

，BE=2．
（1）求AD的长．
（2）求证：FC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理由CD⊥AB得CE=

1

2

CD=2

3

，在Rt△OCE中，根据勾股定理得（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理可计算出AD=4

3

；
（2）连结AC，根据切线的性质由AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线得AF⊥AB，而AB⊥CD，则AF∥CD，加上FC∥AD，可判断四边形ADCF为平行四边形，由于AD=4

3

=CD，所以四边形ADCF为菱形，则FA=FC，所以∠1=∠2，而∠4=∠3，易得∠FAO=∠FCO=90°，于是根据切线的判定定理得到FC是⊙O的切线．

解答：（1）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为R，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×4

3

=2

3

，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=OB-BE=R-2，
∵OE²+CE²=OC²，
∴（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，
在Rt△ADE中，AE=OA+OE=6，DE=2

3

，
∴AD=

AE2+DE2

=4

3

；
（2）证明：连结AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，
∴AF⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AF∥CD，
而FC∥AD，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AD=4

3

=CD，
∴四边形ADCF为菱形，
∴FA=FC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠4=∠3，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠FAO=∠FCO，
∴∠FAO=∠FCO=90°，
∴OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了切线的性质定理、垂径定理和菱形的判定与性质．