Question

如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O 上一点，DE是⊙O的切线，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结OD，若要证明AD平分∠BAC，则问题可转化为证明：∠1=∠2；
（2）作DH⊥AB，可证明△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于BF的比例式，计算即可．

解答：（1）证明：连结OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥OE．             
又∵DE⊥AC，
∴AE∥OD．
∴∠2=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠1=∠ADO．
∴∠1=∠2，
即AD平分∠ABC；
（2）作DH⊥AB．
∵∠1=∠2，∠E=90°，
∴DH=DE=3．
连结OD，
∴OH=4．
∵BF是⊙O的切线，
∴DH∥BF．
∴△ADH∽△AFB．
∴

3

BF

=

9

10

．
∴BF=

10

3

．

点评：本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了相似三角形的判定和性质．