Question

如图：AB是⊙O的直径，半径OE⊥AC交弦AC于点D，过C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知AC=24，DE=6
（1）求tanB；
（2）求⊙O的半径；
（3）求CF的长．

Answer 1

解：（1）AC=24，
∴AD=DC=AC=12，∠EDC=∠ODA=90°，
∴tanC=，
∵∠B=∠C，
∴tanB=．

（2）由（1）知，AD=12，设圆的半径为r，则OD=r-6，
所以，在Rt△OAD中，OD²+AD²=AO²，即（r-6）²+12²=r²，
解得，r=15．

（3）连接OC，如图示，
∵OE⊥AC，
弧AE=弧CE，
∴∠AOE=∠COE，
∵CF是圆的切线，
∴∠ADO=∠FCO=90°，
∴△AOD∽△FOC，
∴，即，
解得，CF=20．
分析：（1）在Rt△DEC中，tanC可求，而∠B=∠C，所以tanB可求．
（2）而根据垂径定理，AD=DC=12，在Rt△OAD中，可以求出半径的长．
（3）连接OC，易证△AOD∽△FCD，根据相似形的性质，对应边成比例，得出CF的长．
点评：本题综合考查了圆中的一些重要定理和相似三角形是性质，题目典型，难度中等，是一道不错的题目．