Question

20．如图，已知四边形BCNM是平行四边形，分别以M，N为圆心，以MB，NC为半径作圆，⊙M交BC于E，AB为⊙M的直径，连接AE交MN于F，过C点作MN的垂线MN于G，交⊙N于D，连接DN．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）已知：AB：MN=5：7
①若tanB=0.75，求证：四边形ADCE是正方形；
②若四边形ADCE是正方形，那么tanB一定等于0.75吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形ECGF是矩形，再证明四边形AFGD是矩形，即可解决问题．
（2）①由AB：MN=5：7，可以假设AB=5k，MN=7k，则NM=BC=7k，在Rt△ABE中，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，设AE=3x，BE=4x，可得（3x）²+（4x）²=（5k）²，推出x=k，推出AE=3k，BE=4k，推出EC=BC-BE=7k-4k=3k，推出AE=EC，由此即可解决问题．
②不一定．因为四边形AECD是正方形，设AE=EC=a，在Rt△ABE中，由AB²=AE²+BE²，可得（5k）²=a²+（7k-a）²，推出a=3k或a=4k，当a=3k时，AE=3k，BE=4k，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$=0.75，当a=4k时，AE=4k，BE=3k，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$，由此即可判断．

解答 证明：（1）∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵四边形BCNM是平行四边形，
∴MN∥BC，
∴∠AFM=∠AEB=90°，
∴MF⊥AE，
∴AF=EF，
∵CD⊥MN，
∴∠CGF=∠GFE=∠FEC=90°，
∴四边形ECGF是矩形，
∴AE∥DC，EF=CG=AF，
∵NG⊥CD，
∴DG=CG=AF，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∵∠AFG=90°，
∴四边形AFGD是矩形，
∴∠EAD=∠ADC=∠AEC=90°，
∴四边形AECD是矩形．

（2）①∵AB：MN=5：7，
∴可以假设AB=5k，MN=7k，则NM=BC=7k，
在Rt△ABE中，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，设AE=3x，BE=4x，
∴（3x）²+（4x）²=（5k）²，
∴x=k，
∴AE=3k，BE=4k，
∴EC=BC-BE=7k-4k=3k，
∴AE=EC，
∵四边形AECD是矩形，
∴四边形AECD是正方形．

②不一定．理由如下，
∵AB：MN=5：7，
∴可以假设AB=5k，MN=7k，则NM=BC=7k，
∵四边形AECD是正方形，设AE=EC=a，
在Rt△ABE中，∵AB²=AE²+BE²，
∴（5k）²=a²+（7k-a）²，
整理得a²-7ka+12k²=0，
∴（a-3k）（a-4k）=0，
∴a=3k或a=4k，
当a=3k时，AE=3k，BE=4k，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$=0.75，
当a=4k时，AE=4k，BE=3k，tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴tanB的值不一定等于0.75．

点评 本题考查圆综合题、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，体现了数形结合的数学思想，属于中考压轴题．