Question

15．已知直线l₁：y=-x+$\sqrt{2}$k，双曲线C：y=$\frac{{k}^{2}}{x}$定点F₁（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k）．
（1）若k=$\sqrt{2}$，求直线l₁，双曲线C的解析式，定点F的坐标；
（2）在（1）的条件下，定点F₁（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k）关于原点的对称点记作F₂，在双曲线C上任取一点P（x，y），求|PF₂-PF₁|的值；
（3）若k为大于0的任意实数，定点F₁（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k）关于原点的对称点记作F₂，在双曲线C上任取一点P（x，y），判断|PF₂-PF₁|的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据k=$\sqrt{2}$，代入直线、双曲线的解析式即可解决问题．
（2）由题意F₁（2，2），F₂（-2，-2）．设P（m，$\frac{2}{m}$），利用两点过距离公式求出PF₁，PF₂即可解决问题．
（3）|PF₂-PF₁|的值是定值．由题意F₁（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k），F₂（-$\sqrt{2}$k，-$\sqrt{2}$k），设P（m，$\frac{{k}^{2}}{m}$），利用两点过距离公式求出PF₁，PF₂即可解决问题．

解答 解：（1）∵k=$\sqrt{2}$，
∴直线l₁为y=x+2，双曲线为y=$\frac{2}{x}$，点F₁（2，2）．

（2）由题意F₁（2，2），F₂（-2，-2）．设P（m，$\frac{2}{m}$），
∴PF₁=$\sqrt{（m-2）^{2}+（\frac{2}{m}-2）^{2}}$
=$\sqrt{{m}^{2}-4m+4+\frac{4}{{m}^{2}}-\frac{8}{m}+4}$
=$\sqrt{（{m}^{2}+4+\frac{4}{{m}^{2}}）-（4m+\frac{8}{m}）+4}$，
=$\sqrt{（m+\frac{2}{m}）^{2}-4（m+\frac{2}{m}）+4}$，
=$\sqrt{（m+\frac{2}{m}-2）^{2}}$，
=m+$\frac{2}{m}$-2，
同法可得PF₂=m+$\frac{2}{m}$+2，
∴|PF₁-PF₂|=4．

（3）|PF₂-PF₁|的值是定值．
理由：由题意F₁（$\sqrt{2}$k，$\sqrt{2}$k），F₂（-$\sqrt{2}$k，-$\sqrt{2}$k），设P（m，$\frac{{k}^{2}}{m}$），
∴PF₁=$\sqrt{（m-\sqrt{2}k）^{2}+（\frac{{k}^{2}}{m}-\sqrt{2}k）^{2}}$，
=$\sqrt{{m}^{2}-2\sqrt{2}mk+2{k}^{2}+\frac{{k}^{4}}{{m}^{2}}-2\sqrt{2}•\frac{{k}^{3}}{m}+2{k}^{2}}$，
=$\sqrt{（m+\frac{{k}^{2}}{m}）^{2}-2\sqrt{2}k（m+\frac{{k}^{2}}{m}）+2{k}^{2}}$，
=m+$\frac{{k}^{2}}{m}$-$\sqrt{2}$k，
同法可得PF₂═m+$\frac{{k}^{2}}{m}$+$\sqrt{2}$k，
∴|PF₂-PF₁|=2$\sqrt{2}$k．
∴|PF₂-PF₁|的值是定值．

点评 本题考查反比例函数综合题、两点间距离公式、完全平方公式的应用，解题的关键是学会利用参数解决问题，灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考压轴题．