Question

10．如图，抛物线L：y=ax²+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1
（1）求抛物线L的解析式；
（2）求抛物线上的点M在直线BC的上方，求点M到直线BC的距离的最大值；
（3）设点P是抛物线L对称轴右侧上一点，点Q在对称轴上，是否存在以P点为直角顶点的△PBQ与△AOC相似？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称性可求得A（-1，0），设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x+1），将点C的坐标代入可求得a的值，从而可求得抛物线的解析式；（2）过点M作MD⊥AB，交CD与点D，过点M作ME⊥CB，垂足为E．设点M的坐标为（x，-x²+2x+3），先求得直线BC的解析式，然后可得到MD与x的函数关系式，依据二次函数的性质可求得MD的最大值，从而可求得△BCM的最大值，然后依据三角形的面积公式可求得ME的最大值；
（3）连接DP，过点P作PE⊥QD，垂足为E，然后可证明点Q、P、B、D共圆，从而可证明∠PDQ=∠ACO或∠PDQ=∠CAO，设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），则PE=x-1，DE=-x²+2x+3．接下来，依据$\frac{EP}{ED}$=$\frac{1}{3}$或$\frac{EP}{ED}$=3列出关于x的方程，从而可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），
∴A（-1，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x+1）．
将点C的坐标代入得：-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）设点M的坐标为（x，-x²+2x+3）．
设直线BC的解析式为y=kx+3，将点B的坐标代入得：3k+3=0，解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
如图1所示：过点M作MD⊥AB，交CD与点D，过点M作ME⊥CB，垂足为E．

MD=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
所以当x=$\frac{3}{2}$时，MD有最大值$\frac{9}{4}$．
在Rt△BCO中，依据勾股定理可知BC=3$\sqrt{2}$．
∴BC•EM=DM•OB，即3$\sqrt{2}$ME=$\frac{9}{4}$×3，解得ME=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
所以M到BC的最大距离为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
（3）如图3所示：连接DP，过点P作PE⊥QD，垂足为E．

∵∠QPB=∠QDB=90°，
∴∠QPB+∠QDB=180°．
∴点Q、P、B、D共圆．
∴∠PBQ=∠PBQ．
∵以P点为直角顶点的△PBQ与△AOC相似，
∴∠PBQ=∠ACO或∠PBQ=∠CAO．
∴∠PDQ=∠ACO或∠PDQ=∠CAO．
设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），则PE=x-1，DE=-x²+2x+3．
∵当∠PDQ=∠ACO时，tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EP}{ED}$=$\frac{x-1}{-{x}^{2}+2x+3}$=$\frac{1}{3}$，解得：x=2或x=-3（舍去）
所以点P的坐标为（2，3）．
当∠PDQ=∠CAO时，tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=3，
∴$\frac{EP}{ED}$=$\frac{x-1}{-{x}^{2}+2x+3}$=3，解得：x=$\frac{5+\sqrt{145}}{6}$或x=$\frac{5-\sqrt{145}}{6}$（舍去）．
∴点P的坐标为（$\frac{5+\sqrt{145}}{6}$，$\frac{\sqrt{145}-1}{18}$）．
同理：当点P在第象限时，$\frac{EP}{ED}$=3或$\frac{EP}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
当$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x-3}$=3时，解得：x=$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$
∴P的坐标为（$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$，-$\frac{\sqrt{145}+1}{18}$）．
当$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x-3}$=$\frac{1}{3}$时，解得x=0（舍去）或x=5．
∴点P的坐标为（5，-12）．
综上所述点P的坐标为（2，3）或（$\frac{5+5\sqrt{5}}{6}$，$\frac{5\sqrt{5}-1}{18}$或（5，-12）或（$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$，-$\frac{\sqrt{145}+1}{18}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、相似三角形的性质，用含x的式子表示出相关线段的长度是解题的关键．