Question

12．如图，AC、BC分别平分∠MAB和∠ABN，∠ACB=90°．
（1）AM和BN存在怎样的位置关系？并写出理由；
（2）过点C作一条直线，分别交AM、BN于点D，E．则AB、AD、BE三者间具有怎样的数量关系？并写出理由．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质不难得出∠MAB+∠ABN=180°，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）过C点作辅助线CF使其平行于AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系．

解答 解：（1）AM∥BN，
∵∠ACB=90°，AC，BC分别为∠MAB、∠NBA的平分线，
∴∠ABC+∠CAB=$\frac{1}{2}$（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
∴AM∥BN；

（2）过E点作辅助线CF使其平行于AM，

∵AM∥BN，CF∥BC，
∴CF∥AD∥BC，
∴∠ACF=∠DAC，∠BCF=∠CBE，
∵∠FAC=∠DAC，∠FBC=∠CBE，
∴∠ACF=∠FAC，∠BCF=∠FBC，
∴AF=FC=FB，
∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，
根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，
∴DC=EC，
∵CF为梯形ABED中位线，
∴AD+BE=2CF，
∵AF=FE=FB，
∴AD+BE=AB．

点评 本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．