Question

3．已知二次函数y=ax²+bx-3a经过点A（-1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接AC、CD、DB，求S_{四边形ACDB}；
（3）在该抛物线上是否存在点P，使得S_△ABP=S_{四边形ACDB}？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点的坐标代入二次函数的解析式中，列方程组解出即可；
（2）作辅助线，将四边形ACDB的面积分成了三个图形的面积，计算其和即可；
（3）先设点P的坐标，根据图形和等量关系式S_△ABP=S_{四边形ACDB}列式，解方程即可．

解答 解：（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入二次函数y=ax²+bx-3a中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3a=0}\\{-3a=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴此二次函数解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D（1，4），
由对称性质得：B（3，0），
过D作DE⊥x轴于E，
∴S_{四边形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×（3-1）×4=9；
（3）存在，
设P（x，-x²+2x+3），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵S_△ABP=S_{四边形ACDB}，
∴$\frac{1}{2}$×4×|-x²+2x+3|=9，
①x²-2x-3=$\frac{9}{2}$，
x²-2x=$\frac{15}{2}$，
（x-1）²=$\frac{17}{2}$，
x=1±$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
②x²-2x-3=-$\frac{9}{2}$，
x²-2x=-$\frac{3}{2}$，
（x-1）²=-$\frac{1}{2}$，
此方程无实数解，
当x=1+$\frac{\sqrt{34}}{2}$时，y=-（1+$\frac{\sqrt{34}}{2}$-1）²+4=-$\frac{9}{2}$，
当x=1-$\frac{\sqrt{34}}{2}$时，y=-（1-$\frac{\sqrt{34}}{2}$-1）²+4=-$\frac{9}{2}$，
∴符合条件的点P的坐标为：（1+$\frac{\sqrt{34}}{2}$，-$\frac{9}{2}$）或（1-$\frac{\sqrt{34}}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、及抛物线与坐标轴的交点、一元二次方程的解法、图形面积，尤其是第三问，利用数形结合的思想，再根据解析式表示P点的坐标，与方程相结合解决问题．