Question

正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边的中点，连接AE、CF，过点B作BM⊥FC交对角线AC于点N，连接FN，探究FN与AE的位置关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：根据正方形的性质，得出AB=BC，进而求得BF=BE，根据SAS证得△ABE≌△CBF，得出∠BAE=∠BCF，根据同角的余角相等，得出∠ABG=∠BCF=∠BAE，
进而求得OA=OB，∠OAG=∠OBE，根据ASA求得△AOG≌△BOE，得出AG=BE=AF，进而证得△ANF≌△ANG，得出∠AFN=∠AGB，进而求得∠AFN=∠MBC，根据∠AFN+∠BAE，=∠MBC+∠ABG=∠ABC=90°，即可求得FN⊥AE．

解答：证明：如图，延长BN交AD于G，
∵正方形ABCD中，
∴AB=BC，
∵点E、F分别是BC、AB边的中点，
∴BF=BE，
在△ABE和△CBF中

AB=BC ∠ABE=∠CBF BE=BF

∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE=∠BCF，
∵BM⊥FC，
∴∠ABG=∠BCF=∠BAE，
∴OA=OB，∠OAG=∠OBE，
在△AOG与△BOE中

∠OAG=∠OBE OA=OB ∠AOG=∠BOE

∴△AOG≌△BOE（ASA），
∴AG=BE=AF，
∵∠BAC=∠DAC=45°，
在△ANF和△ANG中，

AF=AG ∠FAN=∠GAN AN=AN

∴△ANF≌△ANG（SAS），
∴∠AFN=∠AGB，
∵∠AGB=∠MBC，
∴∠AFN=∠MBC，
∵∠ABG=∠BAE，
∴∠AFN+∠BAE，=∠MBC+∠ABG=∠ABC=90°，
∴FN⊥AE．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是本题的关键．