Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=

4

5

，作CH⊥AB于点H，D，K分别为边AB，AC上的点，连接CD，DK，在射线DK上取一点E，使∠DCE=∠B，且

4

5

BC•CK=CD•CE．

（1）如图，求证：∠CED=90°；
（2）连接AE并延长交直线BC于点G，探究线段BC，BG，DH之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用“两边及夹角法”证得△CEK∽△CHD，则对应角相等∠DEC=∠DHC=90°，故∠CED=90°；
（2）BG-BC=

15

16

DH．需要分类讨论：①如图2，当点D在线段BH上时．故点D作DC的垂线交CE的延长线于点M，连接AM．通过△CDH∽△CMA的对应边成比例、对应角相等得到：

DH

AM

=

CH

AC

=

3

5

，∠MAC=∠DHC=90°．则易推知MA∥BC，故∠AME=∠GCE，结合条件∠AEM=∠CEG，证得△AME∽△GCE，通过该相似三角形的对应边成比例、解直角三角形得到
GC=

15

16

DH，所以BG-BC=

15

16

DH；
②如图3，当点D在线段AH上时，同理可得 BG-BC=

15

16

DH．

解答：（1）证明：如图1，
∵CH⊥AB，
∴∠BHC=90°．
又∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACH，
∴∠DCE=∠B，
∴∠DCE=∠ACH，
∴∠DCH=∠KCE．
又sinB=

CH

BC

=

4

5

，
∴BC=

4

5

CH．
∵

4

5

BC•CK=CD•CE，
∴CH•CK=CD•CE，即

CE

CH

=

CK

CD

，
∴△CEK∽△CHD，
∴∠DEC=∠DHC=90°，
∴∠CED=90°；

（2）BG-BC=

15

16

DH．理由如下：
①如图2，当点D在线段BH上时．
故点D作DC的垂线交CE的延长线于点M，连接AM．
由（1）可知，∠DCM=∠ACH．
∴cos∠DCN=cos∠ACH，
∴

CD

CM

=

CH

AC

．
又∵∠DCH=∠MCA，
∴△CDH∽△CMA，
∴

DH

AM

=

CH

AC

=

3

5

，∠MAC=∠DHC=90°，
∴∠MAC+∠BCA=180°，
∴MA∥BC，
∴∠AME=∠GCE，
又∠AEM=∠CEG．
∴△AME∽△GCE，
∴

AM

GC

=

ME

EC

．
又tan∠DCE=tan∠MDE=

4

3

，
∴

DE

CE

=

ME

DE

=

4

3

，
∴

ME

EC

=

16

9

，
∴

AM

GC

=

16

9

，
∴GC=

15

16

DH，
∴BG-BC=

15

16

DH；
②如图3，当点D在线段AH上时，同理可得BG-BC=

15

16

DH．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等综合知识．对于动点问题，一定要分类讨论，以防漏解．