Question

5．如图1，在?ABCD中，E为DC延长线上一点，且CD=CE，AE交BC于点F
（1）求证：BF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）如图2，若在?ABCD的外部有一点P，使得PA=PQ，PC=PD且∠APQ=∠CPD=90°，若AD=1，求BQ的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，BC=AD=1，AB∥CD，得出∠B=∠ECF，证出AB=EC，由AAS证明△ABF≌△ECF，得出BF=CF=$\frac{1}{2}$BC即可；（2）连接QC，交AD于点E，证出∠QPC=∠APD，由SAS△QPC≌△PAD，得出QC=AD=1，∠QCP=∠ADP，得出BC=QC，由三角形内角和定理得：∠DEC=∠CPD=90°，由平行线的性质得出∠BCQ=∠DEC=90°，证出△BCQ是等腰直角三角形，得出BQ=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，BC=AD=1，AB∥CD，
∴∠B=∠ECF，
∵CD=CE，
∴AB=EC，
在△ABF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECF}&{\;}\\{∠AFB=∠EFC}&{\;}\\{AB=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）解：连接QC，交AD于点E，如图所示：
∵∠APQ=∠CPD=90°，
∴∠QPC=∠APD，
在△QPC和△PAD中，$\left\{\begin{array}{l}{QP=AP}&{\;}\\{∠QPC=∠APD}&{\;}\\{PC=PD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△QPC≌△PAD（SAS），
∴QC=AD=1，∠QCP=∠ADP，
∴BC=QC，
设AD、PC交于点F，
由三角形内角和定理得：∠DEC=∠CPD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCQ=∠DEC=90°，
∴△BCQ是等腰直角三角形，
∴BQ=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．