Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．
（1）证明：CE=CF；
（2）若∠B=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．（如图2所示）

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，进而得出答案；
（2）利用等边三角形的判定方法得出△ABE是等边三角形，进而得出△ABE≌△FCE（ASA），即可得出AB=FC，进而结合矩形的判定方法求出即可．

解答 （1）证明：如图（1），
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠DAF，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，
∴∠F=∠DAF=∠CEF，
∴CE=FC；

（2）解：四边形ABFC是矩形，
理由：如图（2），∵∠B=60°，AD∥BC，
∴∠BAD=120°，
∵∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=60°，
则△ABE是等边三角形，
可得AB=BE=AE，∠BEA=∠AFC=60°，
∵BC=2AB，
∴AE=BE=EC，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
在△ABE和△FCE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FCE}\\{BE=EC}\\{∠BEA=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC，
又∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
再由∠BAC=90°，
故四边形ABFC是矩形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，得出AB=FC是得出四边形ABFC是平行四边形的关键．