Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，中位线EF与对角线AC、BD相交于N、M，设梯形ABCD的周长为a，四边形AMND的周长为b，则a与b的数量关系式为

 

．

Answer 1

考点：梯形中位线定理

专题：探究型

分析：取BC的中点G，连接MG，如图，MG为△BCD的中位线，则MG∥CD，再证明四边形AGCD为平行四边形，得到AG∥CD，AG=CD，且点A、M、G共线，所以AM=

1

2

CD，同理可得DN=

1

2

AB，然后根据梯形的中位线定理得EN=

1

2

BC，EM=

1

2

AD，则MN=EN-EM=

1

2

（BC-AD）=

1

2

AD，再表示两个四边形的周长得到a=AB+CD+AD+BC=2AN+2CD+AD+2AD=2AN+2AM+3AD，b=MN+AD+AM+AN=AN+AM+

3

2

AD，于是得到a=2b．

解答：解：取BC的中点G，连接MG，如图，
∵M点为BD的中点，
∴MG∥CD，
∵BC=2CG=2AD，
∴AD=CG，AD∥CG，
∴四边形AGCD为平行四边形，
∴AG∥CD，AG=CD，
∴点A、M、G共线，
∴AM=

1

2

CD，
同理可得DN=

1

2

AB，
∵EF为梯形ABCD的中位线，
∴EN=

1

2

BC，EM=

1

2

AD，
∴MN=EN-EM=

1

2

（BC-AD）=

1

2

AD，
∴a=AB+CD+AD+BC=2AN+2CD+AD+2AD=2AN+2AM+3AD，
b=MN+AD+AM+AN=AN+AM+

3

2

AD，
∴a=2b．
故答案为a=2b．

点评：本题考查了梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．