Question

7．如果P是正方形ABCD内的一点，且满足∠APB+∠DPC=180°，那么称点P是正方形ABCD的对补点．
（1）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，求证：点M是正方形ABCD的对补点；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（1，1），C（3，3）除对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是正方形，得到AC⊥BD，于是得到结论；
（2）如图2，延长CD交y轴于E，延长CB交x轴于F，则四边形CEOF是正方形连接OC，EF交于P，推出A，C在直线y=x上，得到A在OC上，根据全等三角形的性质得到∠APD=∠APB，得到∠CPD+∠APB=180°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠AMB=∠CMD=90°，
∴∠AMB+∠CMD=180°，
∴点M是正方形ABCD的对补点；

（2）如图2，点P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）是该正方形的对补点，
延长CD交y轴于E，延长CB交x轴于F，
则四边形CEOF是正方形
连接OC，EF交于P，
∵A（1，1），C（3，3），
∴A，C在直线y=x上，
∴A在OC上，
在△APD与△APB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAP=∠BAP=45°}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△APB，
∴∠APD=∠APB，
∴∠DPE=∠BPF，
∵∠EPC+∠APF=180°，
∴∠CPD+∠APB=180°，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）是该正方形的对补点．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．