Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=

3

5

，求tan∠DBC的值．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系,解直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，

AD

=

CD

，继而证得结论；
（2）由AB=10，cos∠ABC=

3

5

，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴

AD

=

CD

，
∴AD=CD；

（2）解：∵AB=10，
∴OA=OD=

1

2

AB=5，
∵OD∥BC，
∴∠AOE=∠ABC，
在Rt△AEO中，
OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×

3

5

=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴AE=

AO2-OE2

=

52-32

=4，
在Rt△AED中，
tan∠DAE=

DE

AE

=

2

4

=

1

2

，
∵∠DBC=∠DAE，
∴tan∠DBC=

1

2

．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．