Question

正整数n≤600，具有如下性质：从1，2，…，600中任取一个数m，m能整除n的概率为

1

100

，则n的最大值为

 

．

Answer 1

考点：数的整除性

专题：

分析：因为m能整除n的概率为

1

100

，说明这个数n一共分解质因数有6个因数，因为6=2×3=1×6，说明这个n分解质因数后含有相同的质因数5个或含有2个不同的质因数，其中一个质因数1个，另一个质因数有2个，由此探讨得出答案即可．

解答：解：∵m能整除n的概率为

1

100

，
∴n分解质因数后含有相同的质因数5个或含有2个不同的质因数，其中一个质因数1个，另一个质因数有2个，
当含有相同的质因数5个，3⁵=243，5⁵=3125，所以最大是243，
当含有2个不同的质因数，其中一个质因数1个，另一个质因数有2个，
首先考虑1个最小的质因数是2，2个相同的质因数（设为p）2×p²≤600，p最大为17，这是n的值为578；
再考虑2个最小的质因数是2，另一个质因数（设为q）q×2²≤600，q最大为149，这是n的值为596；
综上所知，n的最大值为596．
故答案为：596．

点评：此题考查数的整除的性质，注意求掌握一个数因数的方法，如果一个合数分解质因数为w=a^xb^yc^z，则所含因数的个数为（x+1）（y+1）（z+1）；以及1000以内的质数是解决问题的关键．