Question

3．对于二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成下列任务；
【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的顶点坐标为（1．-2）
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值．
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为A（2，0）和B（-1，6）．
【应用】（1）二次函数y=-3x²+5x+2是二次函数y=x²-3x+3和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；
（2）以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上；若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．

Answer 1

分析 【尝试】（1）把t=2代入抛物线的解析式，利用配方法即可解决问题．
（2）边点A坐标代入即可判断．
（3）把点B的坐标代入即可求出n的值．
【发现】观察上面计算结果即可判断．
【应用】（1）根据“再生二次函数”的定义，即可判断．
（2）如图，作矩形ABC₁D₁和矩形ABC₂D₂，过点B作BK⊥y轴于K，过点D₁作D₁G⊥x轴于G，过点C₂作C₂H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C₂H与BM交于点T．
分两种情形求出C、D两点坐标，再利用待定系数法求出t的值即可．

解答 【尝试】（1）解：当t=2时，
抛物线y=2（x²-3x+2）+（1-2）（-2x+4）
=2x²-4x
=2（x-1）²-2，
∴顶点坐标（1，-2）．
故答案为（1，-2）．

（2）解：∵x=2时，y=t（4-6+2）+（1-t）（-4+4）=0，
∴点A（2，0）在抛物线E上．

（3）解：将（-1，n）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），
得n=t（1+3+2）+（1-t）（2+4）=6，
∴n的值为6．

【发现】解：通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为A（2，0）和B（-1，6）．
故答案为A（2，0）和B（-1，6）．

【应用】解：（1）不是．
∵将x=-1代入y=-3x²+5x+2，得到y=-6≠6，
∴二次函数y=y=-3x²+5x+2的图象不经过等B，
∴二次函数y=-3x²+5x+2不是二次函数y=x²-3x+3和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．

（2）如图，作矩形ABC₁D₁和矩形ABC₂D₂，过点B作BK⊥y轴于K，过点D₁作D₁G⊥x轴于G，过点C₂作C₂H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C₂H与BM交于点T．

∵AM=3，BM=6，BN=1，
由△KBC₁∽△MBA，得$\frac{AM}{BM}$=$\frac{{C}_{1}K}{BK}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{{C}_{1}K}{1}$，解得C₁K=$\frac{1}{2}$，
∴C₁（0，$\frac{13}{2}$），
由△KBC₁≌△GAD₁，得到AG=KB=1，GD₁=KC₁=$\frac{1}{2}$，
∴D₁（3，$\frac{1}{2}$），
由△OAD₂∽△GAD₁，得到$\frac{{D}_{1}G}{O{D}_{2}}$=$\frac{AG}{OA}$，可得OD₂=1，
∴D₂（0，-1），
由△TBC₂≌△OD₂A，得到TC₂=OA=2，BT=OD₂=1，
∴C₃（-3，5），
∵抛物线总是经过A、B，
∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D．
①当抛物线经过A、B、C₁时，将C₁（0，$\frac{13}{2}$）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得到t=-$\frac{5}{4}$，
②当抛物线经过A、B、D₁时，将D₁（3，$\frac{1}{2}$）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得到t=$\frac{5}{8}$，
③当抛物线经过A、B、C₂时，将C₂（-3，5）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得到t=-$\frac{1}{2}$
④当抛物线经过A、B、D₂时，将D₂（0，-1）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得到t=$\frac{5}{2}$，
综上所述，满足条件的t的值为-$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{8}$或-$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，灵活应用待定系数法确定函数解析式，属于中考压轴题．