Question

如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠C=∠E=90°，AC=DE=12，BC=FE=16，点D是AB的中点，将△DEF绕点D旋转，DE、DF分别交BC于点G、H，使DG=GH，则重叠部分（△DGH）的面积为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：过点D作DK⊥BC于K，根据等边对等角可得∠GDH=∠GHD，然后求出∠GHD=∠A，再求出△ABC和△HDK相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出HK，设DG=GH=x，表示出GK，然后利用勾股定理列出方程求出x，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点D作DK⊥BC于K，
∵DG=GH，
∴∠GDH=∠GHD，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠GDH，
∴∠GHD=∠A，
又∵∠C=∠DKH，
∴△ABC∽△HDK，
∴

AC

HK

=

BC

DK

，
∵D是AB的中点，
∴DK是△ABC的中位线，
∴DK=

1

2

AC=

1

2

×12=6，
∴

12

HK

=

16

6

，
解得HK=

9

2

，
设DG=GH=x，则GK=x-

9

2

，
在Rt△DGK中，由勾股定理得，DK²+GK²=DG²，
即6²+（x-

9

2

）²=x²，
解得x=

25

4

，
所以，△DGH的面积=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

．
故答案为：

75

4

．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的性质和勾股定理，难点在于作辅助线构造出相似三角形和直角三角形，解题的关键是利用勾股定理列出方程．