Question

7．（1）等边三角形△ABC中，点D是AB边所在直线上的一动点（D与A、B不重合），连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，
①如图1，当D在线段AB上时，∠ABC与∠EAC有怎样的数量关系直接写出结论∠ABC=∠EAC
②如图2，当D在BA延长线上时，求证：∠ABC=∠EAC
③如图3，当D在AB延长线上时，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，直接写出结论∠ABC+∠EAC=180°或∠EAC=2∠ABC
（2）等腰三角形△ABC中，AB=AC，点D是AB边上一动点（D与A、B不重合），如图4，连接DC，以DC为边在BC边上方作等腰三角形△DCE，使顶角∠DEC=∠BAC，连接AE，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，给予证明

Answer 1

分析 （1）①根据等边三角形的性质得到AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，继而得出结论；
②同①的方法判断出△BCD≌△ACE即可；
③同①的方法判断出△BCD≌△ACE即可；
（2）首先得出∠ACB=∠ECD，从而判定△ABC∽△EDC，得到$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{CD}$，根据∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，于是得到∠BCD=∠ACE，推出△BCD∽△ACE，即可得出结论

解答 （1）①证明：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠EAC；
故答案为：∠ABC=∠EAC；

②解：结论∠ABC=∠EAC仍成立；
理由如下：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠EAC；
③∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=∠ABC=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC=∠EAC，
∵∠ABC+∠DBC=180°，
∴∠ABC+∠EAC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠EAC=120°=2∠ABC．
故答案为：∠ABC+∠EAC=180°或∠EAC=2∠ABC
（2）解：∠ABC=∠EAC；
理由如下：∵AB=AC，ED=EC，顶角∠BAC=∠DEC，
∴底角∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{CD}$，
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠ABC=∠CAE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．