Question

定义：任何一个一次函数y=px+q，取出它的一次项系数p和常数项q，有序数组[p，q]为其特征数．例如：y=2x+5的特征数是[2，5]，同理，[a，b，c]为二次函数y=ax²+bx+c的特征数．
（1）直接写出二次函数y=x²-5x的特征数是：

 

．
（2）若特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，求m的值；
（3）以y轴为对称轴的二次函数抛y=ax²+bx+c的图象经过A（2，m）、B（n，1）两点（其中m＞0，n＜0），连结OA、OB、AB，得到OA⊥OB，S_△AOB=10，求二次函数y=ax²+bx+c的特征数．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意得出二次函数的特征数，进而得出答案；
（2）根据题意得出一次函数y=2x+m+1为正比例函数，得出m+1=0，进而得出答案；
（3）首先得出△CBO∽△DOA，即可得出

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，进而求出BO，AO的长，即可得出m，n的值，再利用待定系数法求二次函数解析式得出即可．

解答：解：（1）∵[a，b，c]为二次函数y=ax²+bx+c的特征数，
∴二次函数y=x²-5x的特征数是：[1，-5，0]；
故答案为：[1，-5，0]；

（2）特征数是[2，m+1]的一次函数为y=2x+m+1．
∵一次函数y=2x+m+1为正比例函数，
∴m+1=0．
∴m=-1．

（3）∵A（2，m）、B（n，1），作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C．
∴CO=-n，BC=1，OD=2，AD=m，
∵OA⊥OB，
∴∠COB+∠AOD=90°，
又∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠COB=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△CBO∽△DOA，
∴

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，
∴

1

2

=

BO

AO

，
又∵S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10．
即BO•OA=20，
解得：BO=

10

，AO=2

10

．
由勾股定理得：CO=3，AD=6．
∵m＞0，n＜0，
∴m=6，n=-3．
∴A坐标为（2，6），B坐标为（-3，1）．
设抛物线解析式为：y=ax²+c，
故

4a+c=6 9a+c=1

，
解得：

a=-1 c=10

，
故抛物线解析式为：y=-x²+10，
则二次函数y=-x²+10的特征数为[-1，0，10]．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及新定义和相似三角形的判定与性质等知识，得出A，B点坐标是解题关键．