Question

14．如图，已知∠ABC=60°，∠1=∠2．
（1）求∠3的度数；
（2）若AD⊥BC，求证：△ABF是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，若AF=8，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠ADB=90°，根据三角形的内角和得到∠1=30°，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（3）根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABC=60°，
∴∠ABF+∠2=60°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ABF=60°，
∴∠3=∠ABF+∠1=60°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠1=30°，
∵∠2=∠1=30°，
∴∠ABF=∠ABC-30°=30°，
∴∠1=∠ABF，
∴△ABF是等腰三角形；
（3）∵△ABF是等腰三角形，
∴BF=AF=8，∵∠FDB=90°，∠2=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$BF=4．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的理解题意是解题的关键．