Question

9．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．

解答 解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y₁=k₁x+20，
把B（10，40）代入得，k₁=2，
∴AB解析式为：y₁=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$，
把C（25，40）代入得，k₂=1000，
∴曲线CD的解析式为：y₂=$\frac{1000}{x}$（x≥25）；

（2）当x₁=5时，y₁=2×5+20=30，
当x₂=30时，y₂=$\frac{1000}{30}$，
∴y₁＜y₂
∴第30分钟注意力更集中．

（3）令y₁=36，
∴36=2x+20，
∴x₁=8
令y₂=36，
∴36=$\frac{1000}{x}$，
∴x₂=$\frac{1000}{36}$≈27.8，
∵27.8-8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

点评 此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．