Question

16．如图，已知一次函数y₁=k₁x+2的图象与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于A，B 两点，且A（-4，m）、B（8，-2）．
（1）k₁=-$\frac{1}{2}$，k₂=-16；
（2）利用图象直接写出y₁＜y₂时，x的取值范围是-4＜x＜0或x＞8；
（3）过点A作AD⊥x轴于D点，点P是反比例函数在第二象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于E点，当S_{四边形ODAC}：S_△ODE=3：1时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知条件一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点A（-4，m）和B（8，-2），得到方程，即可得到结果；
（2）根据一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点A（-4，4）和B（8，-2），于是得到结论；
（3）由（1）知，y₁=12x+2，y₂=-$\frac{16}{x}$，得到m=4，点C的坐标是（0，2）点A的坐标是（-4，4），于是得到CO=2，AD=OD=4，通过S_梯形ADOC=$\frac{1}{2}$（CO+AD）×OD=2，S_{四边形ODAC}：S_△ODE=3：1，求得S_△ODE=$\frac{1}{3}$S_梯形ADOC=$\frac{1}{3}$×12=4，求出DE=2，于是得到点E的坐标为（-4，2），求得直线OP的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x，于是得到结论．

解答 解：（1）∵一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点A（-4，m）和B（8，-2），
∴K₂=（8）×（-2）=-16，
-2=8k₁+2，∴k₁=-$\frac{1}{2}$；
故答案为：-16，-$\frac{1}{2}$；

（2）∵一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点A（-4，4）和B（8，-2），
∴当y₁＜y₂时，x的取值范围是-4＜x＜0或x＞8；
故答案为：-4＜x＜0或x＞8；

（3）由（1）知，y₁=12x+2，y₂=-$\frac{16}{x}$，
∴m=4，点C的坐标是（0，2）点A的坐标是（-4，4），
∴CO=2，AD=OD=4，
∴S_梯形ADOC=$\frac{1}{2}$（CO+AD）×OD=12，
∵S_{四边形ODAC}：S_△ODE=3：1，
∴S_△ODE=$\frac{1}{3}$S_梯形ADOC=$\frac{1}{3}$×12=4，
即$\frac{1}{2}$OD•DE=4，
∴DE=2，
∴点E的坐标为（-4，2），
∵点E在直线OP上，
∴直线OP的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x，
∴直线OP与y₂=-$\frac{16}{x}$的图象在第二象限内的交点P的坐标为（-4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$ ）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，函数的图象等知识点的应用，主要考查学生的计算能力、观察图象的能力，题目比较好，难度适中．