题目内容

每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据： $数学公式$ ≈1.4， $数学公式$ ≈1.7， $数学公式$ ≈2.4）

解：过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC=15°，
∴∠DAC=90°-15°=75°，
∵∠ADC=60°，
∴在Rt△AED中，
∵cos60°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DE=2，
∵sin60°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AE=2 $\text{[math]}$ ，
∴∠EAD=90°-∠ADE=90°-60°=30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE=∠CAD-∠DAE=75°-30°=45°，
∴∠C=90°-∠CAE=90°-45°=45°，
∴AE=CE=2 $\text{[math]}$ ，
∴sin45°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AC=2 $\text{[math]}$ ，
∴AB=2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．
答：这棵大树AB原来的高度是10米．
分析：过点A作AE⊥CD于点E，由∠BAC=15°可求出∠DAC的度数，在Rt△AED中由∠ADE=60°，AD=4可求出DE及AE的长度，在Rt△AEC中由直角三角形的性质可得出AE=CE，故可得出CE的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC的长，进而可得出结论．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．