Question

（1）平面直角坐标系中，直线y=2x+2交双曲线y=

k

x

(x＞0)于点M，点M的纵坐标是4．
①求k的值；
②如图1，正方形ABCD的顶点C、D在双曲线y=

k

x

(x＞0)上，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，求点D的坐标；
（2）平面直角坐标系中，如图2，C点在x轴正半轴上，四边形ABCO为直角梯形，AB∥OC，∠OCB=90°，OC=CB，D为CB边的中点，∠AOC=∠OAD，反比例函数y=

m

x

(x＞0)的图象经过点A，且S_△OAD=60，求m的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）①由直线y=2x+2交双曲线y=

k

x

(x＞0)于点M，点M的纵坐标是4，可求得点M的坐标，继而求得k的值；
②首先作DM⊥x轴于点M，作CN⊥y轴于点N，易证得△AOB≌△DMA≌△BNC，易得C（b，a+b），D（a+b，a），继而求得a的值，则可求得点D的坐标；
（2）首先延长BA交y轴于E，过O作OF⊥AD于F，易证得△OEA≌△OFA，Rt△OFC≌Rt△OCD，则可证得四边形OCBE为正方形，又由S_△OAD=60，即可求得答案．

解答：解：（1）①在y=2x+2中，令y=4，得x=1，
即M（1，4），
又∵M（1，4）在y=

k

x

上，
∴k=4；

②作DM⊥x轴于点M，作CN⊥y轴于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠CBN+∠ABO=∠OAB+∠DAM=90°，
∵∠ABO+∠OAB=∠CBN+∠BCN=∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠CBN=∠OAB=∠ADM，
在△AOB和△DMA和△BNC中，

∠CBN=∠OAB=∠ADM ∠CNB=∠AOB=∠AMD BC=AB=AD

，
∴△AOB≌△DMA≌△BNC（AAS），
∵OA=a，OB=b，
则C（b，a+b），D（a+b，a），
∴b（a+b）=（a+b）a，
∴a=b，
∴b（a+b）=4，
即 2a²=4，
又∵a＞0，
∴a=

2

，
∴D（2

2

，

2

）；

（2）延长BA交y轴于E，过O作OF⊥AD于F，
∵BA∥OC，
∴∠BEO=∠EOC=90°，∠EAO=∠AOC，
∵∠AOC=∠OAD，
∴∠EAO=∠OAF，
在△OEA和△OFA中，

∠EAO=∠OAF ∠OEA=∠OFA=90° OA=OA

，
∴△OEA≌△OFA（AAS），
∴设OE=OC=2n，EA=FA=x，
∵CB=OC，
∴CB=2n，
∵D为CB的中点，
∴BD=CD=n，
∴OF=OC，
在Rt△OFC和Rt△OCD中，

OF=OC OD=OD

，
∴Rt△OFC≌Rt△OCD（HL），
∴DF=DC=n，OF=OC=2n，
∵∠OEB=∠EOC=∠OCB=90°，
∴四边形OCBE为正方形，
∴AB=2n-x，
在Rt△ABD中，∠B=90°，
∴（x+n）²=（2n-x）²+n²，
∴x=

2n

3

，
∵OE=2n，AE=x，
∴A（

2n

3

，2n），
∵A在y=

k

x

（x＞0）图象上，
∴k=

2n

3

•2n=

4n2

3

，
∵S_△OAD=

1

2

AD•OF，
∴60=

1

2

（x+n）•2n，
即60=（

2n

3

+n）•n，
∴n²=36，
∴k=

4

3

×36=48，
即k=48．

点评：此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．