Question

1．一船在A处测得小岛C在北偏东75°的方向，船在A处向正东航行30海里到B处，再测C在它的东北方向上，求原出发点A与C的距离．

Answer 1

分析 作BD⊥CA于D，在AD上取点E，使EA=EB，根据题意求出∠DEB的度数，设BD=x，表示出BE，AE，DE，根据勾股定理列出方程，求出x的值即可．

解答 解：作BD⊥CA于D，在AD上取点E，使EA=EB，
由题意得，∠A=15°，∠ABC=135°，
∴∠C=30°，
∵EA=EB，
∴∠EBA=∠A=15°，
∴∠DEB=30°，
设BD=x，则BE=2x，AE=2x，
由勾股定理得，DE=$\sqrt{3}$x，又AB=30，
∴x²+（2x+$\sqrt{3}$x）²=900，
解得，x=15$\sqrt{2-\sqrt{3}}$，
则AC=2x+2$\sqrt{3}$x=30$\sqrt{2-\sqrt{3}}$+30$\sqrt{3\sqrt{3}-3}$．
答：点A与C的距离为30$\sqrt{2-\sqrt{3}}$+30$\sqrt{3\sqrt{3}-3}$．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、灵活运用锐角三角函数的概念和勾股定理是解题的关键．