Question

1．在△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE绕点A旋转，点D、E的对应点分别为D′、E′，若点D的对应点D′恰好落在BC上，连接CE′，请解决如下问题：

（1）如图1，若∠B=45°，则∠D′CE′=90度，AC、CD′、CE′的数量关系为C′E+CD′=$\sqrt{2}$AC．
（2）如图2，若∠B=30°，求∠D′CE′的度数和AC，CD′，CE′之间的数量关系，请你写出求解过程．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，Ab=4，AD=2，AC=$\sqrt{10}$，请你直接写出四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BAD′≌△CAE′，即可推出BD=CE′，∠ACE′=∠B=45°，推出∠D′CE′=90°，由BC=$\sqrt{2}$AC，BC=BD′+CD′=CE′+CD′，推出C′E+CD′=$\sqrt{2}$AC；
（2）结论：∠D′CE′=90°，$\sqrt{3}$CE′+CD′=2AC．只要证明△BAD′∽△CAE′，推出∠ACE′=∠B=30°，$\frac{BD′}{CE′}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，推出BD′=$\sqrt{3}$CE′，由∠ACB=90°-30°=60°，推出∠D′CE′=60°+30°=90°，由BC=2AC，BC=BD′+CD′，可得$\sqrt{3}$CE′+CD′=2AC；
（3）如图3中，作DM⊥AC于M．取BD的中点O，连接AO、CO．首先证明A、B、C、D四点共圆，推出∠ABD=∠MCD，△ABD∽△MCD，可得$\frac{AB}{AD}$=$\frac{CM}{DM}$=2，设DM=a，则CM=2a，则AM=$\sqrt{10}$-2a，在Rt△ADM中，由AM²+DM²=AD²，列出方程求出a，在Rt△CDM中，CD=$\sqrt{5}$a，在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{D{B}^{2}-C{D}^{2}}$，再根据S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=∠B=45°，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=45°，∠AED=∠ACB=45°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD，
∵∠BAC=∠D′AE′=90°，
∴∠BAD′=∠CAE′，
∴△BAD′≌△CAE′，
∴BD=CE′，∠ACE′=∠B=45°，
∴∠D′CE′=90°，
∵BC=$\sqrt{2}$AC，BC=BD′+CD′=CE′+CD′，
∴C′E+CD′=$\sqrt{2}$AC．
故答案为90，C′E+CD′=$\sqrt{2}$AC．

（2）结论：∠D′CE′=90°，$\sqrt{3}$CE′+CD′=2AC．理由如下：如图2中，

∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=∠AD′E′=30°，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE′}{AD′}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠BAC=∠D′AE′，
∴∠BAD′=∠CAE′，
∴△BAD′∽△CAE′，
∴∠ACE′=∠B=30°，$\frac{BD′}{CE′}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴BD′=$\sqrt{3}$CE′，
∵∠ACB=90°-30°=60°，
∴∠D′CE′=60°+30°=90°，
∵BC=2AC，BC=BD′+CD′，
∴$\sqrt{3}$CE′+CD′=2AC．

（3）如图3中，作DM⊥AC于M．取BD的中点O，连接AO、CO．

∵∠BAD=∠BCD=90°，BO=OD，
∴OA=OB=OD=OC，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABD=∠MCD，
∵∠BAD=∠DMC，
∴△ABD∽△MCD，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{CM}{DM}$=2，设DM=a，则CM=2a，则AM=$\sqrt{10}$-2a，
在Rt△ADM中，∵AM²+DM²=AD²，
∴（$\sqrt{10}$-2a）²+a²=2²，
∴a=$\frac{\sqrt{10}}{5}$或$\frac{3\sqrt{10}}{5}$（舍弃），
在Rt△CDM中，CD=$\sqrt{5}$a=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{D{B}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{20-2}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$•AB•AD+$\frac{1}{2}$•BC•CD=$\frac{1}{2}$•4•2+$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$=7．

点评 本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、直角三角形的30度角性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理．四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．