Question

13．等腰△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，P为BC的中点，小明拿着含30°的透明三角板，使30°角的顶点落在P处，三角板绕P点旋转．
（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角形绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于E、F．
①探究△BPE、△CFP还相似吗？（只写结论，不需证明）；
②连接EF，求证：EP平分∠BEF；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

Answer 1

分析 （1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；
（2）①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明△BPE∽△PFE即可得出结论，③小题求出△BPE中BE上的高，求出△PEF中EF上的高，得出关系式

解答 （1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）解：①△BPE∽△CFP；
理由：：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
②
同（1），可证△BPE∽△CFP，
∴$\frac{CP}{BE}=\frac{PF}{PE}$，而CP=BP，
∴$\frac{BP}{PF}=\frac{BE}{PE}$．
∵∠EBP=∠EPF，
∴△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∴∠BEP=∠FEP，
∴EP平分∠BEF；
③由②得，∠BEP=∠PEF．
分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM=PN．
连AP，在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8，可得AP=4．
∴PM=2$\sqrt{3}$，
∴PN=2$\sqrt{3}$，
∴S=S_△EPF=$\frac{1}{2}$PN×EF=$\sqrt{3}$m．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，含30°的直角三角形的性质，判断三角形相似是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．