Question

11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若∠AOB=120°，AE=8，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=AE，证BD=AE即可．可通过证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论；
（2）只要证明△OBC是等边三角形，即可解决问题；

解答 解：（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∴BD=AE，
∴AC=AE；

（2）∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AE=4．

点评 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，了解矩形的特殊性质是解答本题的关键，本题难度不大，但综合性较强．