Question

12．如图，AB是⊙O直径，C、D是AB上两点，MC⊥AB交⊙O于M、N，PD⊥AB交⊙O于P、Q，
（1）求证：PM=QN；
（2）若AC=BD，求证：$\widehat{AM}$=$\widehat{BP}$；
（3）若AM=MP=PB，求证：C为OA中点．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理，可以得到AB垂直平分MN和PQ，从而可以证明PM=QN；
（2）根据题意，可以证明△OMC和△OPD全等，从而可以证明结论成立；
（3）根据题意可以退出△MOA是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可以解答本题．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O直径，AB⊥MN，AB⊥PQ，
∴$\widehat{AM}=\widehat{AN}$，$\widehat{BP}=\widehat{BQ}$，
∵$\widehat{AM}+\widehat{MP}+\widehat{BP}=\widehat{AN}+\widehat{NQ}+\widehat{BQ}$，
∴$\widehat{PM}=\widehat{QN}$，
∴PM=QN；
（2）证明：连接OM，OP，如右图所示，
∵OA=OB，OM=OP，AB⊥MN，AB⊥PQ，
∴OC=OD，∠MCO=∠POD=90°，
∴Rt△MOC≌Rt△POD（HL），
∴∠MOA=∠POB，
∴$\widehat{AM}=\widehat{BP}$；
（3）∵AB是⊙O直径，AM=MP=PB
∴∠MOA=∠MOP=∠POB=60°，
又∵OM=OA，MC⊥OA，
∴△OMA是等边三角形，
∴点C是OA的中点．

点评 本题考查垂径定理、圆心角、弦、弧的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．