Question

10．某大型商场销售A、B型两种电视机，A型电视机每台利润为150元，B型电视机每台的利润为200元．
（1）该商场计划一次购进两种型号的电视机共100台，其中A型电视机的进货量不少于B型电视机的$\frac{1}{2}$，设购进A型电视机x台，这100台电视机的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商场购进A型、B型电视机各多少台，才能使销售总利润最大？
（2）实际进货时，厂家对A型电视机出厂价下调m（0＜m＜150）元，且限定商场最多购进A型电视机65台，若商场保持同种电视机的售价不变，请你根据以上信息及（1）中条件，设计出使这100台电视机销售总利润最大的进货方案．

Answer 1

分析 （1）①根据题意可以得到y关于x的函数关系式；
②根据一次函数的性质和x的取值范围，可以得到使销售总利润最大的进货方案；
（2）根据题意可以列出相应的函数解析式，然后讨论m的取值范围，即可解答本题．

解答 解：（1）①由题意可得，
y=150x+200（100-x）=-50x+20000，
∵x≥$\frac{1}{2}$（100-x），
解得，x$≥\frac{100}{3}$，
∵x是整数，x不大于100，
∴34≤x≤100，
即y关于x的函数关系式是y=-50x+20000（34≤x≤100）；
②∵y=-50x+20000（34≤x≤100），-50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取得最大值，此时y=-50×34+20000=18300，
100-34=66，
即该商场购进A型电视机34台、B型电视机66台，才能使销售总利润最大；
（2）∵x≥$\frac{1}{2}$（100-x），
解得，x$≥\frac{100}{3}$，
∵x是整数，x不大于65，
∴34≤x≤65，
此时，y=（150+m）x+200（100-x）=（m-50）x+20000，
∵0＜m＜150，
∴当0＜m＜50时，m-50＜0，y随x的增大而减小，
∴x=34时，y取得最大值，此时y=18300+34m；
当m=50时，y=20000不变；
当50＜m＜150时，m-50＞0，此时y随x的增大而增大，
∴当x=65时，y取得最大值，此时y=65m+16750，
由上可得，当0＜m＜50时，使这100台电视机销售总利润最大的进货方案是A型号电视机34台，B型号电视机66台；当m=50时，只要A型号的电视机在34≤x≤65之间，B型号的电视相应的为（100-x）台；当50＜m＜150时，使这100台电视机销售总利润最大的进货方案是A型号电视机65台，B型号的电视机35台．

点评 本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．