Question

如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．

⑴求A、B、C三个点的坐标．

⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．

①求证：AN=BM．

②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.

x

Answer 1

解：⑴令，

解得：，              

∴A(－1，0)，B(3，0)···························· 2分

∵=，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

将x=1代入，得y=2，

∴C（1，2）.  ································· 3分

⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，

∴∠CAE=60º，

由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，

∴AC=BC，

∴△ABC为等边三角形， 

∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，

又∵AM=AP，BN=BP，

∴BN = CM，       

∴△ABN≌△BCM，                

∴AN=BM.    

②四边形AMNB的面积有最小值．   

设AP=m，四边形AMNB的面积为S，

由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S_△ABC=×4²=，

∴CM=BN= BP=4－m，CN=m，             

过M作MF⊥BC,垂足为F,

则MF=MC•sin60º=，

∴S_△CMN==•=，······················· 7分

∴S=S_△ABC－S_△CMN

=－（）

=   

∴m=2时，S取得最小值3.