Question

2．已知关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²-3=0．
（1）求使方程有两实数根的实数m的取值范围．
（2）若方程的两实数根为x₁、x₂，且（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）先由（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，得出x₁+x₂=-3或4，再根据根与系数的关系得出x₁+x₂=2（m+1），那么2（m+1）=-3或2（m+1）=4，解方程进而求解即可．

解答 解：（1）要使方程有两实数根，则需△=[2（m+1）]²-4（m²-3）≥0，
解不等式得：m≥-2；

（2）因为（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，
所以x₁+x₂=-3或4，
又因为x₁+x₂=2（m+1），
所以2（m+1）=-3或2（m+1）=4，
解得m=-$\frac{5}{2}$或m=1，
又因为m≥-2，所以m=-$\frac{5}{2}$舍去，
所以m=1．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
也考查了根与系数的关系．