Question

6．若a＞1，求关于x的方程$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}$=x的解．

Answer 1

分析 将原方程变形为x⁴-2ax²-x+a²-a=0，将其分解因式即可得出x²-x-a=0或x²+x+1-a=0，根据x≥0、a＞1利用求根公式即可求出x的值，经检验后即可得出方程的解．

解答 解：原方程可变形为：x⁴-2ax²-x+a²-a=0，
即（x²-x-a）（x²+x+1-a）=0，
∴x²-x-a=0或x²+x+1-a=0，
∵x≥0，a＞1，
∴x₁=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$．
又∵a-$\sqrt{a+x}$≥0，a＞1，
∴x₁=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$不合适，
故关于x的方程$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}$=x的解为$\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$．

点评 本题考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握无理方程的解法．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据无理方程成立的条件判断x的值是否合适是关键．