△ABC中.∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E．(1)如图1.若∠A=70°.则∠E=35°,如图2.若∠A=90°.则∠E=45°,如图3.若∠A=130°.求∠E=65°(2)根据以上求解的过程.你发现∠A与∠E之间有什么关系?如果有关.写出你的发现过程,如果没有.请说明理由(3)如图△ABC中.∠A=96°.延长BC到D.∠ABC的平分线与∠ACD的平分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E．

（1）如图1，若∠A=70°，则∠E=35°；如图2，若∠A=90°，则∠E=45°；如图3，若∠A=130°，求∠E=65°
（2）根据以上求解的过程，你发现∠A与∠E之间有什么关系？如果有关，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）
（3）如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，以此类推，∠A₄BC的平分线与∠A₄CD的平分线交于点A₅，则∠A₅的大小是3°．

分析（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，再根据角平分线的定义可得∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠E=$\frac{1}{2}$∠A，再分别代入数据进行计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，再根据角平分线的定义可得∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠E=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，再依此类推得，∠A₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A；…∠A₅=$\frac{1}{{2}^{5}}$∠A；找出规律，从而求∠A₅的值．

解答解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠E+∠EBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠A，
若∠A=70°时，∠E=$\frac{1}{2}$×70°=35°；
若∠A=90°时，∠E=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
若∠A=130°时，∠E=$\frac{1}{2}$×130°=65°；
故答案为：35°，45°，65°；

（2）由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠E+∠EBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∵∠BA₁C+∠A₁BC=∠A₁CD，2∠A₁CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA₁C+∠A₁BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA₁C+2∠A₁BC=∠BAC+∠ABC，
而2∠A₁BC=∠ABC，
∴2∠BA₁C=∠BAC，
同理，可得2∠BA₂C=∠BA₁C，2∠BA₃C=∠BA₂C，2∠BA₄C=∠BA₃C，2∠BA₅C=∠BA₄C，
∴∠BA₅C=$\frac{1}{2}$∠BA₄C=$\frac{1}{4}$∠BA₃C=$\frac{1}{8}$∠BA₂C=$\frac{1}{16}$∠BA₁C=$\frac{1}{32}$∠BAC=96°÷32=3°，
故∠A₅=3°．
故答案为：3°．