Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+4x与x轴正半轴的交点，点B在抛物线上，其横坐标为2，直线AB与y轴交于点C．点M、P在线段AC上（不含端点），点Q在抛物线上，且MQ平行于x轴，PQ平行于y轴．设点P横坐标为m．
（1）求直线AB所对应的函数表达式．
（2）用含m的代数式表示线段PQ的长．
（3）以PQ、QM为邻边作矩形PQMN，求矩形PQMN的周长为9时m的值．

Answer 1

分析 （1）先利用二次函数解析式求出A点和B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-$\frac{1}{2}$m²+4m），讨论：当0＜m≤2时，PQ=$\frac{1}{2}$m²-5m+8；当2＜m＜8时，PQ=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8；
（3）先表示出M（$\frac{1}{2}$m²-4m+8，-$\frac{1}{2}$m²+4m），讨论：当0＜m≤2，QM=$\frac{1}{2}$m²-5m+8，利用矩形周长列方程得到2（$\frac{1}{2}$m²-5m+8+$\frac{1}{2}$m²-5m+8）=9，然后解方程求出满足条件m的值；当2＜m＜8，QM=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8，利用矩形周长列方程得到2（-$\frac{1}{2}$m²+5m-8-$\frac{1}{2}$m²+5m-8）=9，然后解方程求出满足条件m的值．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+4x=0，解得x₁=0，x₂=8，则A（8，0）；
当x=2时，y=-$\frac{1}{2}$x²+4x=6，则B（2，6），
设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b，
将A（8，0），B（2，6）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-x+8；
（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-$\frac{1}{2}$m²+4m），
当0＜m≤2时，PQ=-m+8-（-$\frac{1}{2}$m²+4m）=$\frac{1}{2}$m²-5m+8；
当2＜m＜8时，PQ=-$\frac{1}{2}$m²+4m-（-m+8）=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8；
（3）∵MQ∥x轴，
∴M点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$m²+4m，
∴M点的横坐标为$\frac{1}{2}$m²-4m+8，即M（$\frac{1}{2}$m²-4m+8，-$\frac{1}{2}$m²+4m），
当0＜m≤2，QM=$\frac{1}{2}$m²-4m+8-m=$\frac{1}{2}$m²-5m+8，
∵2（PQ+QM）=9，
∴2（$\frac{1}{2}$m²-5m+8+$\frac{1}{2}$m²-5m+8）=9，
整理得2m²-20m+23=0，解得m₁=$\frac{10-3\sqrt{6}}{2}$，m₂=$\frac{10+3\sqrt{6}}{2}$（舍去）；
当2＜m＜8，QM=m-（$\frac{1}{2}$m²-4m+8）=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8，
∵2（PQ+QM）=9，
∴2（-$\frac{1}{2}$m²+5m-8-$\frac{1}{2}$m²+5m-8）=9，
整理得2m²-20m+41=0，解得m₁=$\frac{20-3\sqrt{2}}{2}$，m₂=$\frac{20+3\sqrt{2}}{2}$（舍去）；
综上所述，m的值为$\frac{10-3\sqrt{6}}{2}$或$\frac{20-3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．