Question

13．如图所示，在⊙O中，AB是一非直径的弦，点C是弧AB的中点，弦CD与AB交于点F，连结BD，作BE平分∠FBD交CD于点E．
（1）指出图中一定是等腰三角形的三角形和一定相似的三角形，并证明；
（2）求证：$\frac{1}{CE}$+$\frac{1}{DE}$=$\frac{1}{EF}$．

Answer 1

分析 （1）结论：△BCE是等腰三角形，△CBF∽△CDB．根据等腰三角形的定义，相似三角形的判定方法即可解决问题．
（2）由△CBF∽△CDB，得$\frac{CB}{CD}$=$\frac{CF}{CB}$，把CB=CE，CD=CE+DE，CF=CE-EF，代入化简变形即可．

解答 （1）解：结论：△BCE是等腰三角形，△CBF∽△CDB．
理由：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠D=∠CBA，
∵EB平分∠DBF，
∴∠EBD=∠EBF，
∵∠CEB=∠D+∠EBD，∠CBE=∠CBA+∠EBF，
∴∠CEB=∠CBE，
∴△CEB是等腰三角形．
∵∠C=∠C，∠CBF=∠D，
∴△CBF∽△CDB．

（2）证明：∵△CBF∽△CDB，
∴$\frac{CB}{CD}$=$\frac{CF}{CB}$，
∵CB=CE，CD=CE+DE，CF=CE-EF，
∴$\frac{CE}{CE+DE}$=$\frac{CE-EF}{CE}$，
∴CE²=（CE+DE）（CE-EF），
∴EF•DE+EF•CE=CE•DE，
两边除以EF•DE•CE得$\frac{1}{CE}$+$\frac{1}{DE}$=$\frac{1}{EF}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．