Question

10．如图，点C在线段AB上，AC=12厘米，CB=8厘米，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AB=a厘米，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？用一句简洁的语言表述你发现的规律；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AB=b厘米，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度；
（2）与（1）同理，先用AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于AC与BC长度和的一半；
（3）根据中点定义可得：AM=MC=$\frac{1}{2}$AC，CN=BN=$\frac{1}{2}$CB，再根据线段之间的和差关系进行转化即可．

解答 解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=6cm，CN=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
∴MN=CM+CN=6+4=10cm；

（2）MN=$\frac{1}{2}$a（cm），
理由如下：
同（1）可得CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=CM+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a（cm）；

（3）MN=$\frac{1}{2}$b（cm），
如图所示：
根据题意得：AB=b，
∴AC-BC=b，AM=MC=$\frac{1}{2}$AC，CN=BN=$\frac{1}{2}$CB，
∴NM=BM+BN=（MC-BC）+$\frac{1}{2}$BC
=（$\frac{1}{2}$AC-BC）+$\frac{1}{2}$BC
=$\frac{1}{2}$AC+（-BC+$\frac{1}{2}$BC）
=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$BC
=$\frac{1}{2}$（AC-BC）
=$\frac{1}{2}$b（cm）．

点评 此题主要考查了线段的中点，关键是准确把握线段之间的倍数关系，理清线段之间的和差关系，进行等量代换即可．