题目内容
如图，已知C、D是双曲线y=
在第一象线内的分支的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2）连结OC、OD．
在第一象线内的分支的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2）连结OC、OD． 
（1）求证：y1＜OC＜
；
（2）若∠BOC=∠AOD=α，作DM⊥x轴于M，
=
，OC=OD=
，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POD=S△POC？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
；（2）若∠BOC=∠AOD=α，作DM⊥x轴于M，
=，OC=OD=，求直线CD的解析式；（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POD=S△POC？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y1，OG=x1．
∵点C（x1，y1）在双曲线y=
上，
∴x1=
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，
∴y1＜OC＜y1+
（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
，即
，y1=3x1
∵OC2=OG2+CG2，OC=
，
∴10=x12+y12，即10=x12+（3x1）2
解之，得x1=±1．
∵负值不合题意，
∴x1=1，y1=3．
∴点C的坐标为（1，3）．
∵点C在双曲线
上，
∴
，即m=3
∴双曲线的解析式为
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．
则DH=y2，OH=x2
在Rt△ODH中，
，即x2=3y2
又y2=
，则3y22=3．
解之，得y2=±1．
∵负值不合题意，
∴y2=1，x2=3
∴点D的坐标为（3，1）
设直线CD的解析式为y=kx+b．
设直线CD的解析式为y=kx+b．则有
解得
∴直线CD的解析式为y=-x+4
（3）解：双曲线
上存在点P，使得S△POC=S△POD，
这个点P就是∠COD的平分线与双曲线
的交点
证明如下：
∵点P在∠COD的平分线上．
∴点P到OC、OD的距离相等．
又OD=
∴S△POD=S△POC．
∵点C（x1，y1）在双曲线y=
上， ∴x1=
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，
∴y1＜OC＜y1+
（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
，即，y1=3x1 ∵OC2=OG2+CG2，OC=
， ∴10=x12+y12，即10=x12+（3x1）2
解之，得x1=±1．
∵负值不合题意，
∴x1=1，y1=3．
∴点C的坐标为（1，3）．
∵点C在双曲线
上， ∴
，即m=3∴双曲线的解析式为
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．
则DH=y2，OH=x2
在Rt△ODH中，
，即x2=3y2 又y2=
，则3y22=3．解之，得y2=±1．
∵负值不合题意，
∴y2=1，x2=3
∴点D的坐标为（3，1）
设直线CD的解析式为y=kx+b．
设直线CD的解析式为y=kx+b．则有
解得∴直线CD的解析式为y=-x+4
（3）解：双曲线
上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点P就是∠COD的平分线与双曲线
的交点证明如下：
∵点P在∠COD的平分线上．
∴点P到OC、OD的距离相等．
又OD=
∴S△POD=S△POC．
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