Question

10．如图，将菱形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移到△A₁C₁D₁，若∠BAC=30°，当四边形ABC₁D₁是矩形时，A₁A与AC₁满足什么数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 根据平移的性质得出AD=A₁D₁，CD=C₁D₁，根据菱形的性质得出AD=DC=A₁D₁=C₁D₁，根据矩形的性质得出△A₁C₁D₁是含30°的直角三角形，得出AD₁与AC₁的关系，最后根据A₁A=AD₁解答即可．

解答 解：2AA₁=AC₁，理由如下：
∵菱形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移到△A₁C₁D₁，
∴AD=A₁D₁，CD=C₁D₁，AD=DC，
∴AD=DC=A₁D₁=C₁D₁，
∵∠BAC=30°，四边形ABC₁D₁是矩形，
∴△A₁C₁D₁是含30°的直角三角形，
∴2AD₁=AC₁，
∵∠A₁=30°，∠D₁AC₁=60°，
∴∠A₁D₁A=30°=∠A₁，
∴A₁A=AD₁，
∴2AA₁=AC₁．

点评 本题考查了矩形、菱形的性质以及平移的性质，关键是利用平移的性质得出对应边和对应角相等，是一道综合题，难度中等．