Question

某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60°，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45°，已知OA=200m，山坡的坡度i=

1

3

，且O、A、D在同一条直线上．求：
（1）楼房OB的高度；
（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解直角三角形的应用-坡度坡角问题

专题：

分析：（1）由在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200，则可得tan60°=

OB

OA

，则利用正切函数的知识即可求得答案；
（2）首先过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H，由题意可知i=

CH

AH

=

1

3

，然后设CH=x，AH=2x，在Rt△BEC中，∠BCE=45°，利用直角三角形的性质，即可得关于x的方程：200

3

-x=200+

3

x，由在Rt△ACH中，利用勾股定理即可求得答案．

解答：解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200m．
∵tan60°=

OB

OA

，
即

OB

OA

=

3

，
∴OB=

3

OA=200

3

（m）． 

（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．
则OE=CH，EC=OH．
根据题意，知i=

CH

AH

=

1

3

，
可设CH=x，AH=

3

x．                       
在Rt△BEC中，∠BCE=45°，
∴BE=CE，
即OB-OE=OA+AH．
∴200

3

-x=200+

3

x．
解得x=200（2-

3

）．                          
在Rt△ACH中，
∵AC²=AH²+CH²，
∴AC²=（2x）²+x²=5x²．
∴AC=

5

x=

5

×200（2-

3

）=200（2

5

-

15

）（m）．                    
答：高楼OB的高度为200

3

m，小玲在山坡上走过的距离AC为200（2

5

-

15

）m．

点评：本题考查仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题．此题难度适中，解题的关键是要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．