Question

8．共有5个不同的实数m，可以使关于x的方程（m-6）（m-9）x²+（15m-117）x+54=0只有整数根，满足条件的最大实数m与最小实数m之差（大减小）为12．

Answer 1

分析 分析：利用因式分解法分解方程，得出方程的根，根据整数根得出符合要求的根

解答 解：解：原方程可化为[（m-6）x+9][（x-9）x+6]=0，
解得 x₁=$\frac{9}{6-m}$，${x}_{2}=\frac{6}{9-m}$，
要使x₁为整数，必须 6-m=-9、-3、-1、1、3、9，即 m=-3、3、5、7、9、15；
要使x₂为整数，必须 9-m=-6、-3、-2、-1、1、2、3、6，即 m=3、6、7、8、10、11、12、15；
而 x₁、x₂均为整数，所以 m=3 或6或115，
当m=6或9时，此方程是一元一次方程，原方程有整数根，
所以，当 m=3 或 m=7 或 m=15或m=6或m=9 时，原方程只有整数根．

点评 此题主要考查了十字相乘法解方程，以及求方程整数根，题目难度不大．