Question

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

(1)若测得(如图1)，求a的值；

(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF＝1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；

(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点， 　　，， 　　，(，)　　2分 　　将(，)代入抛物线得，　　3分 　　(2)解法一：过点作轴于点， 　　点的横坐标为，(1，)　　4分 　　．又，易知，又， 　　△∽△，　　5分 　　设点(，)()，则，， 　　，即点的横坐标为　　6分 　　解法二：过点作轴于点， 　　点的横坐标为，(1，)　　4分 　　 　　，易知， 　　，　　5分 　　设点(－，)()，则，， 　　，即点的横坐标为　　6分 　　解法三：过点作轴于点， 　　点的横坐标为，(1，)　　4分 　　设(－，)()，则 　　，，， 　　， 　　， 　　解得：，即点的横坐标为　　6分 　　(3)解法一：设(，)()，(，)()， 　　设直线的解析式为：，则　　7分 　　得，， 　　　　8分 　　又易知△∽△，，，　　9分 　　．由此可知不论为何值，直线恒过点(，)　　10分 　　(说明：写出定点的坐标就给2分) 　　解法二：设(，)()，(，)()， 　　直线与轴的交点为，根据，可得 　　， 　　化简，得　　8分 　　又易知△∽△，，，　　9分 　　为固定值．故直线恒过其与轴的交点(，)　　10分 　　说明：的值也可以通过以下方法求得． 　　由前可知，，，， 　　由，得：， 　　化简，得．