题目内容
9．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（-2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式．
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．
（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请简单说明理由．
分析 （1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标．
解答 
解：（1）∵抛物线的顶点为Q（-2，-1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+2）2-1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0+2）2-1，a=1；
∴y=（x+2）2-1，
即y=x2+4x+3；
（2）如图1，分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2+4x+3=0，解得x1=-1，x2=-3；
∵点A在点B的左边，
∴B（-1，0），A（-3，0）；
∴P1（-1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO平分∠D2AP2；
又∵P2D2∥y轴，
∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称；
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
将A（-3，0），C（0，3）代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=x+3；
设D2（x，x+3），P2（x，x2+4x+3），
则有：（x+3）+（x2+4x+3）=0，
即x2+5x+6=0；
解得x1=-2，x2=-3（舍去）；
∴当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1；
∴P2的坐标为P2（-2，-1）（即为抛物线顶点）．
综上所述，P点坐标为P1（-1，0），P2（-2，-1），；
（3）如图2，由（2）知，当P点的坐标为P1（-1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P的坐标为P2（-2，-1）（即顶点Q）时，
平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；
∵P（-2，-1），
∴可设F（x，1）；
∴x2+4x+3=1，
解得x1=$\sqrt{2}-2$，x2=-$\sqrt{2}$-2；
∴符合条件的F点有两个，
即F1（$\sqrt{2}$-2，1），F2（-$\sqrt{2}$-2，1）．
点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定等重要知识点，解题的关键是首先确定函数的解析式，难点是采用了分类讨论的数学思想，这也是中考考查的重要数学思想之一，能力要求较高，难度较大，特别是在中考的总复习阶段应该加强此类题目的训练．
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