Question

7．在菱形ABCD中，E是CD的中点，∠B=120°，AB=4，P是AC上一点，则PE+PD的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先连接BD，BE，则BE的长即为PE+PD的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC=120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CBE是直角三角形，根据勾股定理即可得出BE的长．

解答 解：连接BD，BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，CD=BC=AB=4，
∴BE的长即为PE+PD的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD的中点，
∴BE⊥CD，CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PE+PD的最小值为2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题．注意熟知菱形的性质及两点直线线段最短是解答此题的关键．