题目内容

如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=
1
2
x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．
（1）当m=
2
时，求S的值．
（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．
（3）①若S=
3
时，求
AF
BF
的值；
②当m＞2时，设
AF
BF
=k，猜想k与m的数量关系并证明．
考点：二次函数综合题
专题：综合题,压轴题
分析：（1）首先可得点A的坐标为（m，
1
2
m2），继而可得点E的坐标及BE、OE的长度，易得△ABE∽△CBO，利用对应边成比例求出CO，根据轴对称的性质得出DO，继而可求解S的值；
（2）分两种情况讨论，（I）当0＜m＜2时，将BE•DO转化为AE•BO，求解；（II）当m＞2时，由（I）的解法，可得S关于m的函数解析式；
（3）①首先可确定点A的坐标，根据
S△ADF
S△BDF
=
S△AEF
S△BEF
=
AF
BF
=k，可得S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，从而可得
S△ADE
S△BDE
=
S△ADF-S△AEF
S△BDF-S△BEF
=
k(S△BDF-S△BEF)
S△BDF-S△BEF
=k，代入即可得出k的值；
②可得
S△ADE
S△BDE
=
S△ADF+S△AEF
S△BDF+S△BEF
=
k(S△BDF+S△BEF)
S△BDF+S△BEF
=k，因为点A的坐标为（m，
1
2
m2），S=m，代入可得k与m的关系．
解答：解：（1）∵点A在二次函数y=
1
2
x2的图象上，AE⊥y轴于点E，且AE=m，
∴点A的坐标为（m，
1
2
m2），
当m=
2
时，点A的坐标为（
2
，1），
∵点B的坐标为（0，2），
∴BE=OE=1．
∵AE⊥y轴，
∴AE∥x轴，
∴△ABE∽△CBO，
∴
AE
CO
=
BE
BO
=
1
2
，
∴CO=2
2
，
∵点D和点C关于y轴对称，
∴DO=CO=2
2
，
∴S=
1
2
BE•DO=
1
2
×1×2
2
=
2
；

（2）（I）当0＜m＜2时（如图1），
∵点D和点C关于y轴对称，
∴△BOD≌△BOC，
∵△BEA∽△BOC，
∴△BEA∽△BOD，
∴
BE
AE
=
BO
DO
，即BE•DO=AE•BO=2m．
∴S=
1
2
BE•DO=
1
2
×2m=m；
（II）当m＞2时（如图2），
同（I）解法得：S=
1
2
BE•DO=
1
2
AE•OB=m，
由（I）（II）得，
S关于m的函数解析式为S=m（m＞0且m≠2）．

（3）①如图3，连接AD，
∵△BED的面积为
3
，
∴S=m=
3
，
∴点A的坐标为（
3
，
3
2
），
∵
S△ADF
S△BDF
=
S△AEF
S△BEF
=
AF
BF
=k，
∴S△ADF=k•S△BDF，S△AEF=k•S△BEF，
∴
S△ADE
S△BDE
=
S△ADF-S△AEF
S△BDF-S△BEF
=
k(S△BDF-S△BEF)
S△BDF-S△BEF
=k，
∴k=
S△ADE
S△BDE
=
1
2
×
3
×
3
2
3
=
3
4
；
②k与m之间的数量关系为k=
1
4
m2，
如图4，连接AD，
∵
S△ADF
S△BDF
=
S△AEF
S△BEF
=
AF
BF
=k，
∴S△ADF=k•S△BDF，S△AEF=k•S△BEF，
∴
S△ADE
S△BDE
=
S△ADF+S△AEF
S△BDF+S△BEF
=
k(S△BDF+S△BEF)
S△BDF+S△BEF
=k，
∵点A的坐标为（m，
1
2
m2），S=m，
∴k=
S△ADE
S△BDE
=
1
2
m•
1
2
m2
m
=
1
4
m2（m＞2）．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用，难度较大．
练习册系列答案
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．
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A、
B、
C、
D、
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k
x
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1
2
，m）．
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1
x-1
-
1
x+1
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