题目内容
12．某市民广场拟新建一个直径为10m的圆形喷泉，10个同一型号的喷泉喷嘴等距的安装在圆周上．（1）如图（1），求相邻两个喷嘴之间的距离（即连线相邻两个喷嘴所得线段的长度）（精确到0.1m）；
（2）如图（2），这种喷嘴喷出的水流行成如图所示的抛物线，以喷嘴为原点O，建立平面直角坐标系；
①若水流的最高点P距离地面18m，水流的最远落点A到喷嘴O的距离为8m，试求水流所形成的抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围
②若将10个喷嘴同时打开，10条抛物线形状的水流会聚于一点，形成自然下落的水柱，设计要求，水流汇聚点距离地面的高度不得低于16m，试通过计算判断，这种型号的喷嘴是否符合设计要求
（参开数据：sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°≈0.7265，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.6691，tan18°≈0.3249，$\sqrt{5}$≈2.236）
分析 （1）根据圆内接正多边形的性质知OA=OB=5m、$∠AOB=\frac{360°}{10}$=36°，作OC⊥AB，由垂径定理得$∠AOC=\frac{1}{2}$∠AOB=18°、AB=2AC，利用三角函数求得AC=OAsin∠AOC=5sin18°、AB=2AC可得答案；
（2）①根据题意得出顶点坐标，设出顶点式为y=a（x-4）2+18，将点A（0，0）代入求得a的值，从而得出答案；
②求出x=5时y的值即可判断．
解答 解：（1）如图1，由题意知OA=OB=5m，$∠AOB=\frac{360°}{10}$=36°，
过点O作OC⊥AB于点C，
则$∠AOC=\frac{1}{2}$∠AOB=18°，AB=2AC，
∵AC=OAsin∠AOC=5sin18°，
∴AB=2AC=2×5×sin18°≈3，
答：相邻两个喷嘴之间的距离为3米；
（2）①根据题意知，抛物线的顶点坐标为（4，18），
设解析式为y=a（x-4）2+18，
将点A（0，0）代入得：16a+18=0，
解得：a=-$\frac{9}{8}$，
∴解析式为y=-$\frac{9}{8}$（x-4）2+18，（0≤x≤8）．
②当x=5时，y=-$\frac{9}{8}$（5-4）2+18=16$\frac{7}{8}$＞16，
∴这种型号的喷嘴符合设计要求．
点评 本题主要考查二次函数的应用、圆内接正多边形的性质、三角函数的应用，熟练掌握圆内接正多边形的性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键．
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