Question

9．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，BE=EF，EG平分∠BEF交AD于点G，若AB=15，DF=7，则EG=17．

Answer 1

分析 如图，连接GB、GF、BF，作GH⊥BC于H．，由△GEB≌△GEF，推出BG=FG，由EB=EF，推出EG垂直平分BF，再证明△GHE≌△BCF，推出GE=BF，求出BF即可解决问题．

解答 解：如图，连接GB、GF、BF，作GH⊥BC于H．

在△GEB和△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=GE}\\{∠GEB=∠GEF}\\{BE=EF}\end{array}\right.$，
∴△GEB≌△GEF，
∴BG=FG，∵EB=EF，
∴EG垂直平分BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABH=∠C=∠BHG=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=BC，
∵∠FBC+∠GEH=90°，∠HGE+∠GEH=90°，
∴∠FBC=∠HGE，
在△GHE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HGE=∠FBC}\\{GH=BC}\\{∠GHE=∠C=90°}\end{array}\right.$，
∴△GHE≌△BCF，
∴GE=BF，
∵BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+{8}^{2}}$=17，
∴GE=BF=17，
故答案为17．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．